Hình thoi vàng

1. Mở đầu: tỉ lệ vàng

Chia một đoạn thẳng thành hai phần sao cho cả đoạn so với phần dài bằng phần dài so với phần ngắn. Euclid gọi đây là phép chia theo tỉ số cực và trung bình [1]; ngày nay ta gọi tỉ số đó là tỉ lệ vàng và kí hiệu φ (phi). Lấy phần ngắn bằng 1 và phần dài bằng φ, ta có φ / 1 = (φ + 1) / φ, tức là phương trình bậc hai

Từ đó suy ra ngay hai đẳng thức được dùng xuyên suốt bài: 1/φ = φ − 1 ≈ 0,618 và φ² = φ + 1 ≈ 2,618. φ cũng là giới hạn của tỉ số hai số Fibonacci liên tiếp 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (Hình 1). Mỗi tỉ số mới lần lượt vượt lên rồi hụt xuống quanh φ, và sai số giảm khoảng φ² ≈ 2,6 lần sau mỗi bước.

2. Hình thoi vàng

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau; hai đường chéo cắt nhau vuông góc tại trung điểm mỗi đường. Hình thoi vàng là hình thoi có hai đường chéo theo tỉ lệ vàng. Đặt đường chéo ngắn q = 1 và đường chéo dài p = φ (Hình 2). Hai đường chéo chia hình thoi thành bốn tam giác vuông bằng nhau với hai cạnh góc vuông 1/2 và φ/2.

2.1 Các góc

Nửa góc nhọn α thoả mãn tan(α/2) = (1/2) / (φ/2) = 1/φ. Dùng công thức góc nhân đôi và đẳng thức φ² − 1 = φ,

nên góc nhọn đúng bằng α = arctan 2 ≈ 63,4349° và góc tù β = 180° − α ≈ 116,5651°. Đây là một điều kỳ diệu nhỏ: một tỉ số đường chéo vô tỉ lại cho một góc có tang đúng bằng số nguyên 2. Tương đương, cos α = 1/√5 và sin α = 2/√5.

2.2 Cạnh và diện tích

Theo định lý Pythagoras, cạnh hình thoi là a = ½ · √(1 + φ²) = ½ · √(φ + 2) ≈ 0,9511, trùng với sin 72°: dấu hiệu đầu tiên của tính đối xứng bậc năm sẽ xuất hiện về sau. Diện tích bằng nửa tích hai đường chéo,

Nối trung điểm các cạnh của một hình chữ nhật vàng luôn cho ta một hình thoi vàng (Hình 3). Hình thoi chính là viên kim cương ẩn trong hình chữ nhật nổi tiếng nhất lịch sử nghệ thuật, và nó chiếm đúng một nửa diện tích.

2.3 Khám phá: vì sao là φ mà không phải tỉ lệ khác?

Hình 4 tương tác cho phép bạn thay đổi tỉ lệ hai đường chéo. Hãy để ý hai con số: tổng năm góc nhọn và tổng ba góc tù. Khi năm góc nhọn cộng lại đúng 360° (tỉ lệ ≈ 1,376, góc nhọn 72°), các mảnh nằm phẳng; đó là hình thoi “béo” của lát Penrose. Với hình thoi vàng, tổng chỉ là 317,2°. 42,8° còn thiếu buộc năm mảnh nhô lên thành một kim tự tháp thấp, và đó chính là điều uốn ngôi sao phẳng thành quả cầu.

3. Từ phẳng đến khối: độ cong tại các đỉnh

Quanh mỗi đỉnh của một đa diện lồi, tổng các góc mặt luôn nhỏ hơn 360°. Phần thiếu hụt gọi là độ khuyết góc δ, cho biết bề mặt bị uốn gắt đến đâu tại đỉnh đó. Khoảng năm 1630, René Descartes phát hiện rằng tổng độ khuyết góc của mọi đa diện lồi luôn bằng cùng một giá trị: đúng 720°, toàn bộ độ cong của một mặt cầu. Phát biểu này tương đương với công thức Euler V − E + F = 2 (đỉnh − cạnh + mặt).

Khối ba mươi mặt thoi có 32 đỉnh thuộc hai loại. Tại 12 đỉnh có năm góc nhọn gặp nhau, tại 20 đỉnh còn lại có ba góc tù gặp nhau. Độ khuyết góc của chúng là

Các số hạng chứa α triệt tiêu nhau, đúng như định lý Descartes khẳng định. Điều góc vàng mang lại là sự hài hoà: với α = arctan 2, 12 đỉnh bậc năm nằm đúng trên một khối hai mươi mặt đều, 20 đỉnh bậc ba nằm trên một khối mười hai mặt đều, và cả 30 mặt đều là cùng một hình thoi vàng. Công thức Euler cũng đúng: V − E + F = 32 − 60 + 30 = 2.

4. Gia đình các đa diện vàng

Hình thoi vàng dựng nên cả một gia đình khối đa diện. Có năm đa diện lồi chỉ gồm các mặt là hình thoi vàng, và tất cả đều là khối zonohedron (các cạnh xếp thành những dải song song): khối mặt thoi vàng nhọn và tù, khối mười hai mặt Bilinski do Stanko Bilinski phát hiện năm 1960 [3], khối hai mươi mặt thoi, và khối ba mươi mặt thoi, đã được Johannes Kepler mô tả trong Harmonices Mundi (1619) [2]. Kéo dài (stellate) khối ba mươi mặt ta được khối sáu mươi mặt thoi không lồi, với 60 hình thoi vàng tạo thành mười hai ngôi sao năm cánh (Bảng 1, Hình 6).

Trong khối ba mươi mặt thoi, mọi cặp mặt kề nhau đều tạo góc nhị diện đúng 144°, và khối có đầy đủ đối xứng của khối hai mươi mặt: 6 trục bậc năm, 10 trục bậc ba và 15 trục bậc hai, tổng cộng 120 phép đối xứng khi tính cả phép phản chiếu [4]. Nó còn có thể được cắt thành 20 khối mặt thoi vàng, 10 nhọn và 10 tù, một phép phân hoạch kinh điển gắn kết cả gia đình.

5. Chuẩn tinh thể: hình thoi vàng trong khoa học

Vào thập niên 1970, Roger Penrose tìm ra những viên gạch lát kín mặt phẳng mà không bao giờ lặp lại [5]. Một phiên bản dùng hai hình thoi với góc 72° và 36°. Chúng không phải hình thoi vàng, nhưng φ vẫn chi phối: trên một mảng lớn, số hình thoi “béo” nhiều gấp φ lần số hình thoi “gầy”. Robert Ammann, và độc lập là Peter Kramer cùng Reinhardt Neri [6], đã đưa ý tưởng này lên ba chiều: không gian có thể được lấp đầy không lặp lại bằng khối mặt thoi vàng nhọn và tù, mà mặt của chúng chính là hình thoi vàng của chúng ta.

Tự nhiên cũng đã làm điều đó. Tháng 4 năm 1982, Dan Shechtman quan sát thấy ảnh nhiễu xạ đối xứng bậc mười sắc nét trong một hợp kim nhôm – mangan được làm nguội nhanh, một kiểu đối xứng từng bị coi là không thể có ở tinh thể. Phát hiện được công bố năm 1984 [7], ban đầu bị hoài nghi, nhưng rồi đã thay đổi chính định nghĩa tinh thể và mang về cho Shechtman giải Nobel Hoá học năm 2011. Lát không gian bằng khối mặt thoi vàng trở thành một trong những mô hình chuẩn cho các chuẩn tinh thể đối xứng hai mươi mặt này.

6. Phân tích thiết kế: vì sao hình thoi vàng là một món đồ chơi tuyệt vời

• Một mảnh, nhiều thế giới. Trẻ chỉ cần làm quen một loại mảnh. Mọi hình thoi đều lát kín mặt phẳng nên hoa văn phẳng luôn ghép được; nhờ góc vàng, cùng mảnh ấy còn khép thành đa diện có đối xứng hai mươi mặt.
• Những góc biết đếm. Hai góc trở thành hai con số trẻ tự khám phá: năm góc nhọn thành ngôi sao, ba góc tù thành một góc tròn. Đếm số trở thành hình học.
• Những cạnh như bản lề. Khớp nối bông tuyết kẹp vào giữa mỗi cạnh và cho phép hai mảnh kề nhau gặp nhau ở bất kỳ góc nào: 180° trên mặt bàn, 144° trong khối ba mươi mặt. Một khớp phục vụ cả mô hình phẳng lẫn 3D.
• Trong suốt để thấy toán học. Các mặt màu trong suốt để lộ những trục đối xứng ẩn và các ngôi sao đan xen bên trong khối sáu mươi mặt.
• Một chứng minh cầm được trên tay. Khi mảnh thứ ba mươi khớp vào vị trí, công thức Euler và định lý Descartes đã được kiểm chứng bằng tay: quả cầu không thể khép lại theo cách nào khác.

Bảng 2 nối những gì trẻ làm với các mảnh ở mỗi độ tuổi với toán học ẩn bên dưới. Tiến trình diễn ra tự nhiên vì mọi giai đoạn đều dùng cùng một mảnh: chỉ có câu hỏi là thay đổi.

7. Hoạt động ở nhà và trên lớp

Bốn thí nghiệm ngắn biến kết quả của bài thành những khám phá bằng đôi tay. Chỉ cần các mảnh Golden Rhomboi và đôi khi một cây thước hoặc thước đo góc.

8. Kết luận

Chỉ một điều kiện duy nhất, hai đường chéo theo tỉ lệ 1 : φ, quyết định mọi tính chất của hình thoi vàng: góc nhọn có tang đúng bằng 2, cạnh bằng sin 72°, và độ khuyết góc khiến năm mảnh nhô lên thành ngôi sao, ba mươi mảnh khép thành quả cầu. Cùng mảnh ấy nằm ở trung tâm khối ba mươi mặt của Kepler, khối mười hai mặt của Bilinski và các mô hình chuẩn tinh thể. Golden Rhomboi đặt mảnh ghép này vào tay trẻ, để tỉ lệ vàng không còn là con số phải học thuộc mà là một hình để xây dựng.

Tài liệu tham khảo

1. [1]Euclid. Elements, Book VI, Definition 3 (c. 300 BC).
2. [2]Kepler, J. (1619). Harmonices Mundi, Book II. Linz.
3. [3]Bilinski, S. (1960). Über die Rhombenisoeder. Glasnik Matematičko-Fizički i Astronomski 15, 251–263.
4. [4]Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes, 3rd ed. Dover.
5. [5]Penrose, R. (1974). The role of aesthetics in pure and applied mathematical research. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications 10, 266–271.
6. [6]Kramer, P. & Neri, R. (1984). On periodic and non-periodic space fillings of Eᵐ obtained by projection. Acta Crystallographica A40, 580–587.
7. [7]Shechtman, D., Blech, I., Gratias, D. & Cahn, J. W. (1984). Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry. Physical Review Letters 53, 1951–1953.
8. [8]Markowsky, G. (1992). Misconceptions about the golden ratio. The College Mathematics Journal 23(1), 2–19.
9. [9]Livio, M. (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. Broadway Books.
10. [10]Grünbaum, B. & Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. W. H. Freeman.